在使用显示模式展示数学公式时，我们将每个公式都放在一行中，并用两个美元符号包裹。下面是你提供的 LSTM 模型的数学公式：

1. 输入门设计
   输入门在 LSTM 中主要用于通过激活函数判断更新的信号是否传递到存储器, 此函数值取 0 或者 1 用来作为对此时输入与输出的衡量依据：
    $$i_{t}=\sigma\left(W_{x i} x_{t}+W_{k i} h_{r-1}+b_{i}\right)$$

   在此公式中, $i_{t}$ 表示输入门, $W_{x i}$ 代表当前输入数据, $W_{h i}$ 表示上一时刻单元输出的权值。

2. 计算遗忘门的数值
   判断之前存储的记忆是否对此时的记忆单元产生了影响：
    $$f_{t}=\sigma\left(W_{x f} x_{r}+W_{b f} h_{t-1}+b_{f}\right)$$

   在此公式中, $f_{t}$ 表示的为遗忘门, $h_{t-1}$ 表示上一个时间点的单元输出数值。

3. 输出状态
   记忆单元输出状态值被输出门的值控制：
    $$o_{t}=\sigma\left(W_{s o} x_{i}+W_{h c} c_{t-1}+b_{o}\right)$$

   在此公式中, $o_{I}$ 代表着输出门在当前单元的输出数值。

4. 当前记忆单元状态
   通过输入门和遗忘门的单元得到当前时间点的记忆单元状态值：
    $$
    \begin{aligned}
    c_{t}=f_{t} \circ c_{t-1}+i_{t} \circ \tilde{c}_{t} \\
    \tilde{c}_{t}=\tanh \left(W_{s x} x_{t}+W_{l s} h_{t-1}+b_{c}\right)
    \end{aligned}
    $$

   在此公式中, $c_{t}$ 表示当前记忆单元的数值, $\tilde{c}_{t}$ 表示候选记忆单元的数值, 符号"."表示逐点的乘积运算。

5. 输出量的计算
   计算在 LSTM 单元在时间 t 中的输出：
    $$h_{[1]}=o_{r} \circ \tanh \left(c_{t}\right)$$

   输入门、输出门和遗忘门中的更新都设置激活函数作为开关, 所以更新信号 $c_{t}$ 不会对当前状态产生影响。在反馈循环过程中, LSTM 在处理和更新历史数据的学习能力在不断提高。